3 задачи, которые БУДУТ НА ОГЭ. Геометрия

     Сегодня говорим о типе задач на окружности, которые встретятся в КИМах ОГЭ по математике. Приготовьте тетрадки и ручки (ну или кнопки для скринов), ведь мы начинаем! 

Типы задач на окружности

     На самом деле, список этих задач немаленький. Взгляните сам:

1. Окружность №16. Центральные и вписанные углы;
2. Треугольники №15. Медиана, проведенная из прямого угла;
3. Окружность №18. Центральные и вписанные углы;
4. Окружность №16. Вписанные многоугольники;
5. Окружность №16. Описанные многоугольники;
6. Окружность №16. Квадрат и окружность;
7. Окружность №16. Свойства хорд, касательных, секущих. 

Сегодня подробно говорим о первом пункте – центральных и вписанных углах, с которыми встречаемся в номере 16. Поехали! 

Немного теории

Итак, начинать разговор про окружности нужно с объяснения базовых понятий. 

     Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны опираются на окружность. 

     Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны опираются на окружность. Равен градусной мере дуги, на которую опирается. 

Свойства вписанного угла

1. Вписанный угол равен половине центрального угла, если они оба опираются на одну дугу. 

Задача №1

В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла RAV. 

Решение:

     Как поступаем первым делом? Рисуем центральный угол, который опирается на те же самые точки. Именно так впоследствии мы придем к нужному нам вписанному углу. 

     Можем ли мы как-нибудь его посчитать? Ответ положительный! Перед нами восьмиугольник, своеобразная пицца, сумма углов которой дает 360 градусов. Соответственно “цена” одного кусочка =45 градусам. 

     Вписанный угол по правилам будет вдвое меньше. То есть наш RAV=22,5 градусам. 

     Вуаля, записываем ответ! 

Задача №2

Найдите угол RAV (дан только рисунок)

Решение:

     На первый взгляд выглядит нерешаемо. Но вы точно сможете это сделать))

На этом рисунке нам даны клетки. А в математике, как у Чехова, если ружье висит, то обязательно должно выстрелить. 

     Клетки, конечно, стрелять не будут, но вот найти центральный угол нам точно помогут. Благодаря ним мы можем разделить окружность ровно на 4 части, сделав это, мы видим, что точка V находится ровно посередине между двумя точками. 

     Снова делим пиццу на 8 частей. 360 делим на 8 и получаем 45, а 45 снова уменьшаем вдвоем и получаем 22,5. 

     Вот такой постоянный наш угол RAV, равный 22,5 градусам. 

Задача №3

Найдите угол RAV (дан только рисунок)

Решение:

     Рисуем центральный угол с точкой О. Потом снова действуем по рабочей системе пиццы. Делим на 8 частей, обнаруживаем, что центральный угол состоит сразу из трех кусочков нашей пиццы. 

     Выполняем махинации с числами: 360/8 и получаем 45. А 45 уже умножаем на 3. 135 градусов – наш центральный угол. 

     Вписанный по теореме вдвое меньше центрального, соответственно наш RAV=135/2=67,5. 

Задача №4

     Итак, приступаем к нашему боссу, как в старых компьютерных играх, помните? Хотя девятиклассники часто путаются и ошибаются в этом месте, вам повезло – сегодня вы раз и навсегда запомните, какой же чит надо использовать, чтобы пройти уровень. 

Найдите угол RAV (дан только рисунок)

Решение:

     Как мы можем заметить, здесь нам дан тупой угол. Мы снова делим нашу пиццу на 8 частей и ищем середину. Рисуем центральный угол, опирающийся на точки R и V. 

     Вот тут-то и сыплются ошибки, ведь многие забывают, что центральный и вписанный углы должны опираться на одну дугу! Вы по старинке считаете 145 градусов, не замечая, что сейчас нас интересует другая, бОльшая дуга.  

     Итак, центральный угол состоит из пяти кусочков, 45*5=225 градусов. Наш RAV, как мы помним, вдвое меньше, делим 225 на 2 и в ответе получаем 112,5. 

     Готово! 

Секретная информация 

     Почему же мы делим центральный угол на 2? Секрет в том, что мы действуем аналогично поиску углов в равнобедренном треугольнике. Послушаем нашего Данира Баева, который сказал, что доказывать это очень и очень скучно даже фанатикам математики, и просто примем это к сведению. 

     Надеемся, что сегодняшние задачи если и попадутся вам в КИМах, то будут решены без ошибок. Мы разобрали первый тип заданий на окружность ОГЭ по математике. Впереди еще много интересного. 

     Стремитесь к заветным пятеркам и готовьтесь к экзаменам с удовольствием вместе с Умскул!