к списку статей 3 задачи, которые БУДУТ НА ОГЭ. Геометрия
Сегодня говорим о типе задач на окружности, которые встретятся в КИМах ОГЭ по математике. Приготовьте тетрадки и ручки (ну или кнопки для скринов), ведь мы начинаем!
Типы задач на окружности
На самом деле, список этих задач немаленький. Взгляните сам:
- Окружность №16. Центральные и вписанные углы;
- Треугольники №15. Медиана, проведенная из прямого угла;
- Окружность №18. Центральные и вписанные углы;
- Окружность №16. Вписанные многоугольники;
- Окружность №16. Описанные многоугольники;
- Окружность №16. Квадрат и окружность;
- Окружность №16. Свойства хорд, касательных, секущих.
Сегодня подробно говорим о первом пункте – центральных и вписанных углах, с которыми встречаемся в номере 16. Поехали!
Немного теории
Итак, начинать разговор про окружности нужно с объяснения базовых понятий.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны опираются на окружность.
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны опираются на окружность. Равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Свойства вписанного угла
- Вписанный угол равен половине центрального угла, если они оба опираются на одну дугу.
Задача №1
В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла RAV.
Решение:
Как поступаем первым делом? Рисуем центральный угол, который опирается на те же самые точки. Именно так впоследствии мы придем к нужному нам вписанному углу.
Можем ли мы как-нибудь его посчитать? Ответ положительный! Перед нами восьмиугольник, своеобразная пицца, сумма углов которой дает 360 градусов. Соответственно “цена” одного кусочка =45 градусам.
Вписанный угол по правилам будет вдвое меньше. То есть наш RAV=22,5 градусам.
Вуаля, записываем ответ!
Задача №2
Найдите угол RAV (дан только рисунок)
Решение:
На первый взгляд выглядит нерешаемо. Но вы точно сможете это сделать))
На этом рисунке нам даны клетки. А в математике, как у Чехова, если ружье висит, то обязательно должно выстрелить.
Клетки, конечно, стрелять не будут, но вот найти центральный угол нам точно помогут. Благодаря ним мы можем разделить окружность ровно на 4 части, сделав это, мы видим, что точка V находится ровно посередине между двумя точками.
Снова делим пиццу на 8 частей. 360 делим на 8 и получаем 45, а 45 снова уменьшаем вдвоем и получаем 22,5.
Вот такой постоянный наш угол RAV, равный 22,5 градусам.
Задача №3
Найдите угол RAV (дан только рисунок)
Решение:
Рисуем центральный угол с точкой О. Потом снова действуем по рабочей системе пиццы. Делим на 8 частей, обнаруживаем, что центральный угол состоит сразу из трех кусочков нашей пиццы.
Выполняем махинации с числами: 360/8 и получаем 45. А 45 уже умножаем на 3. 135 градусов – наш центральный угол.
Вписанный по теореме вдвое меньше центрального, соответственно наш RAV=135/2=67,5.
Задача №4
Итак, приступаем к нашему боссу, как в старых компьютерных играх, помните? Хотя девятиклассники часто путаются и ошибаются в этом месте, вам повезло – сегодня вы раз и навсегда запомните, какой же чит надо использовать, чтобы пройти уровень.
Найдите угол RAV (дан только рисунок)
Решение:
Как мы можем заметить, здесь нам дан тупой угол. Мы снова делим нашу пиццу на 8 частей и ищем середину. Рисуем центральный угол, опирающийся на точки R и V.
Вот тут-то и сыплются ошибки, ведь многие забывают, что центральный и вписанный углы должны опираться на одну дугу! Вы по старинке считаете 145 градусов, не замечая, что сейчас нас интересует другая, бОльшая дуга.
Итак, центральный угол состоит из пяти кусочков, 45*5=225 градусов. Наш RAV, как мы помним, вдвое меньше, делим 225 на 2 и в ответе получаем 112,5.
Готово!
Секретная информация
Почему же мы делим центральный угол на 2? Секрет в том, что мы действуем аналогично поиску углов в равнобедренном треугольнике. Послушаем нашего Данира Баева, который сказал, что доказывать это очень и очень скучно даже фанатикам математики, и просто примем это к сведению.
Надеемся, что сегодняшние задачи если и попадутся вам в КИМах, то будут решены без ошибок. Мы разобрали первый тип заданий на окружность ОГЭ по математике. Впереди еще много интересного.
Стремитесь к заветным пятеркам и готовьтесь к экзаменам с удовольствием вместе с Умскул!
