Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Формулы сокращенного умножения

1.2.2022
302

При решении сложных задач может возникнуть необходимость быстро и правильно посчитать достаточно объемные примеры. Разумеется, их можно считать на основе правил сложения, вычитания, умножения и деления, но такой способ может занять большое количество времени и сил. Поэтому в математике существуют формулы сокращенного умножения. 

Формулы сокращенного умножения — это несколько часто встречающихся при решении случаев умножения многочленов. Формулы сокращенного умножения позволяют компактно, быстро и просто решить примеры, а при правильном их применении могут и облегчить счет. 

Рассмотрим случаи, в которых могут применяться формулы сокращенного умножения. 

Квадрат суммы

Например, нам нужно посчитать выражение (a+b)2. Заметим, что вместо a и b могут стоять любые числа и даже целые выражения. 

Решим этот пример, раскрывая скобки: 

(а+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+ab+ba+b2 = a2+2ab+b2

Следовательно, можно вывести формулу: (a+b)2 = a2+2ab+b2

Эта формула читается как “квадрат суммы двух выражений равен сумме их квадратов и их удвоенного произведения”. 

Пользуясь этой формулой можно избежать все промежуточные вычисления и сразу записывать результат.

Например,
(3х+2у)2 = (3x)2+2*3x*2y+(2y)2 = 9x2+12xy+4y2
100а2+80а+16 = (10а+4)2.

Также следует запомнить, что (-a-b)2 = (a+b)2

Проверим: (-a-b)2 = (-a-b)(-a-b) = (-a)(-a)+(-a)(-b)+(-b)(-a)+(-b)(-b) = a2+ab+ba+b2 = a2+2ab+b2.
Это свойство следует из того, что квадрат отрицательного числа будет положительным: (-а)2 = а2

Любопытно посмотреть, как работает эта формула в геометрии. Пусть a и b — положительные числа, представим квадрат со сторонами (а+b), при этом в его углах будут квадраты со сторонами а и b. 

Тогда площадь квадрата можно выразить как (а+b)2, но также и в виде суммы площадей его частей: квадрата со стороной а, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b. 

Тогда получаем S = (а+b)2 = a2+2ab+b2.

А теперь рассмотрим, как эта формула может облегчить счет. 

Например, необходимо вычислить 812 . Тогда вычисления можно построить так: 

812 = (80+1)2 = 802+2*80*1+12 = 6400+160+1 = 1761. 

Также очень интересно рассмотреть возведение в квадрат чисел, которые оканчиваются на 5. Пусть необходимо возвести в квадрат число 75. Тогда получаем:

752 = (70+5)2 = 702+2*70*5+52 = 4900+700+25 = 5625. 

Заметим, что первые две цифры — это произведение 7 и 8. 

Таким образом можно быстро сосчитать квадрат любого числа, оканчивающегося на 5: первыми цифрами будет записано произведение первой цифры числа и цифры на 1 больше ее, а последними двумя — 25. 

Например, 1352 = 18225, где первые цифры — это 13*14 = 182, 1052 = 11025, где первые цифры — это 10*11 = 110. 

Рассмотрим это правило в общем виде. Пусть некоторое число оканчивается цифрой 5, тогда его можно записать как 10а+5, где а — количество десятков в числе (например, 175=170+5=17*10+5). 

Тогда возведем его в квадрат с помощью формулы сокращенного умножения:

(10а+5)2 = (10а)2+2*(10а)*5+52 = 100а2+100а+25 = 100а(а+1)+25. 

Квадрат разности

В этом случае необходимо возвести в квадрат выражение (a-b)2. Получаем: 

(а-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab+b2

Следовательно, можно вывести формулу (a-b)2 = a2-2ab+b2. Эта формула читается как “квадрат разности двух выражений равен разности суммы их квадратов и удвоенного их произведения”. 

Эту формулу можно применять так: (4х-2)2 = (4х)2-2*2*(4х)+22 = 16х2-16х+4. 

25х2-40х+16 = (5х-4)2.

Следует запомнить, что (a-b)2 = (b-a)2

Проверим: 

(а-b)2 = a2-2ab+b2 

(b-a)2 = b2-2ba+a2

Поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется, то два этих выражения тождественны друг другу. 

С помощью этой формулы также можно упростить счет.
Например, нужно возвести в квадрат число 89. Получаем:

892 = (90-1)2 = 8100-180+1 = 7921.

Еще один пример: 682 = (70-2)2 = 4900-280+4 = 4624. 

Разность квадратов

Рассмотрим произведение (а+b) и (a-b):

(a+b)(a-b) = a2-ab+ba-b2 = a2-b2

Получаем формулу (a+b)(a-b) = a2-b2. Она читается как “разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и их разности”. 

Например, 4х6-25у8 = (2х3-5у4)(2х3+5у4). Или (8х-1)(8х+1) = 64х2-1. 

Эта формула также связана с интересным геометрическим рассуждением. 

Пусть а>b, тогда начертим прямоугольник со сторонами a+b и а-b. Его площадь будет равна (а+b)(a-b). 

Теперь отсечем прямоугольник со сторонами b  и a-b, а потом переместим его к оставшейся части сверху так, что в последствии можно будет начертить квадрат со сторонами a. Поскольку мы поменяли только расположение частей, то площадь фигуры не изменяется и остается равна (а+b)(a-b), но теперь ее можно выразить как разность площадей двух квадратов: а2-b2 (см. рисунок). 

Тогда получаем равенство S= (a+b)(a-b)=a2-b2.

Для быстрого счета можно использовать это формулу таким образом:

69*71 = (70-1)(70+1) = 702-12 = 4900-1 = 4899.

138*142 = (140-2)(140+2) = 1402-22 = 19600-4 = 19596. 

Сумма кубов 

Умножим (a+b) на (a2-ab+b2):

(a+b)(a2-ab+b2) = a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3 = a3+b3

Следовательно, мы получаем формулу (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3. Она читается как “сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их неполный квадрат разности”. 

Неполным квадратом (разности и суммы) называют выражения a2-ab+b2 и a2+ab+b2, чтобы отличить их от полного квадрата (разности и суммы) a2-2ab+b2 и a2+2ab+b2. Разница лишь в том, что в полном квадрате вторым слагаемым будет 土2ab, а в неполном 土ab. 

Рассмотрим применение этой формулы: 

(z+3y)(z2-3yz+9y2) = z3+27y3.

p3+8 = (p+2)(p2-2p+4). 

Разность кубов

Умножим (a-b) на (a2+ab+b2):

(a-b)(a2+ab+b2) = a3+a2b+ab2-ba2-ab2-b3 = a3-b3

Следовательно, мы получаем формулу (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3. Она читается как “разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их неполный квадрат суммы”. 

Рассмотрим применение этой формулы: 

(2-х)(4+2х+х2) = 8-х3
64а612 = (4а23)(16а4+4а56). 

Куб суммы и куб разности 

Нередко встречаются ситуации, когда необходимо возвести сумму или разность в куб. Рассмотрим такие случаи и выведем формулы сокращенного умножения. 

1. Возведем в куб скобку (а+b): 

(а+b)3 = (a+b)*(a+b)2 = (a+b)(a2+2ab+b2) = a3+2a2b+ab2+ba2+2ab2+b3 = a3+3a2b+3ab2+b3

Таким образом мы получаем формулу (а+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

Она читается как “куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенному произведению квадрата первого выражения на второе выражение плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения плюс куб третьего выражения”. 

Рассмотрим пример применения этой формулы: 

(2х+1)3 = 8х3+3*4х2*1+3*2х*12+13 = 8х3+12х2+6х+1. 

2. Аналогично выведем формулу куба разности. Возведем в куб скобку (а-b):

(a-b)3 = (a-b)*(a-b)2 = (a-b)(a2-2ab+b2) = a3-2a2b+ab2-ba2+2ab2-b3 = a3-3a2b+3ab2-b3

Таким образом получаем формулу: (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

Она читается как “куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения минус куб третьего выражения”. 

Например, (х-2)3 = х3-6х2+12х-8. 

Квадрат суммы трех слагаемых

Эту формулу можно выводить каждый раз при решении заданий, но это потребует времени. Поэтому ее можно запомнить и применять при решении как и все остальные формулы сокращенного умножения. 

Возведем в квадрат выражение (a+b+c):

(a+b+c)2 = ((a+b)+c)2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 

Заметим, что мы дважды применили формулу квадрата суммы, чтобы раскрыть скобки. Из этого можно сделать вывод, что формулы сокращенного умножения могут потребоваться не только для вычислений, но и для промежуточных преобразований выражений. 

Получаем формулу (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. Она читается как “квадрат суммы трех слагаемых равен сумме их квадратов и удвоенных попарных произведений”. 

Например, возведем в квадрат выражение (3х2+1+у3):

(3х2+1+у3)2 = (3х2)2+12+(у3)2+2*(3х2)*1+2*(3х2)*у3+2*1*у3 = 9х4+1+у6+6х2+6х2у3+2у3

Ниже представлена таблица с основными формулами сокращенного умножения, которые необходимо выучить:

Квадрат суммы(a+b)2 = a2+2ab+b2
Квадрат разности(a-b)2 = a2-2ab+b2
Разность квадратов(a+b)(a-b) = a2-b2
Сумма кубов(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3
Разность кубов (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 
Куб суммы(а+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
Куб разности(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
Квадрат суммы трех слагаемых(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

Следует запомнить, что формулы можно использовать как слева направо, так и справа налево, то есть выражения по ним можно и раскрывать, и “сворачивать”. Они могут значительно упростить вычисления и решения сложных выражений. 

Фактчек

  • Формулы сокращенного умножения — это несколько часто встречающихся случаев умножения многочленов. При этом в формуле сокращенного умножения могут стоять как числа, так и целые выражения. Их можно использовать для быстрых и удобных вычислений или для промежуточных преобразований.
  • Формулы сокращенного умножения достаточно просто выводятся при преобразовании выражений, однако для экономии времени необходимо их выучить и применять на практике без дополнительных преобразований.
  • Формулы сокращенного умножения можно использовать как слева направо, так и справа налево, то есть по ним можно и раскрывать, и “сворачивать” выражения.

Проверь себя

Задание 1.
Как выглядит формула разности кубов? 

а) (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b
б) (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
в) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3
г) Такой формулы нет. 

Задание 2.
Как выглядит формула разности квадратов? 

а) (a+b)(a-b) = a2-b2
б) (a-b)2 = a2-2ab+b2
в) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 
г) Такой формулы нет. 

Задание 3.
Чему равно выражение 16a2-40ab+25?

а) (a+b)2
б) (4a-5)2
в) (5a-4)2
г) (a-5)2

Задание 4.
Чему равно выражение 4×2+24xy-36y2?

а) (2x-6y)2
б) (2x+6y)2
в) (6x+2y)2
г) Такое выражение невозможно преобразовать по формуле сокращенного умножения. 

Задание 5.
Выберите верное утверждение.

а) По формулам сокращенного умножения можно только преобразовывать выражения;
б) По формулам сокращенного умножения можно только выполнять быстрые вычисления;
в) По формулам сокращенного умножения можно только раскрывать скобки;
г) Все утверждения ошибочны. 

Ответы: 1. — в; 2. — а; 3. — б; 4. — г; 5. — г.

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов