Тригонометрические уравнения и неравенства

На этой странице вы узнаете:

• Как промежутку попасть цель?.. 
• Есть ли универсальные решения в тригонометрии?

Что общего у астрономии, компьютерной графики, архитектуры и медицины? Измерить расстояние до звезд или провести обследование сердца, спроектировать небоскреб в центре города и нарисовать локацию в игре – это и многое другое невозможно без решения задач тригонометрии.

Решение тригонометрических уравнений

Основные способы решения тригонометрических уравнений:

Введение новой переменной.

1) Рассмотрим следующее уравнение

3cos²x — 5cos x — 2 = 0

2) Введем новую переменную (не забудем указать, что cos x может принимать значения только от -1 до 1)

cos x = t, -1 ≤ t ≤ 1
3t² — 5t — 2 = 0

3) Решим уравнение и получим

4) Первый корень не подходит, так как не находится на промежутке от -1 до 1.

Сделаем обратную замену

\(cos\:x = -\frac{1}{3}\)
\(x = \pm arccos \frac{1}{3} + 2 \pi k, k \in Z\)

Данная запись и является ответом. 

Разложение на множители.

1. Решим следующее уравнение

sin x * cos x — cos x = 0

2. Вынесем общий множитель за скобку

cos x * (sin x — 1) = 0

3. Перейдем к совокупности уравнений

4. Решим

Так как решения второго уравнения одновременно являются и решениями первого уравнения, в ответ запишем следующее:

\(\large x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z\)

Простейшие тригонометрические неравенства

Тригонометрическое неравенство – это неравенство, в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.

Как решаются тригонометрические неравенства?

Для их решения нужно ориентироваться в “Тригонометрической окружности и графиках функций”.

Этот навык очень пригодится нам в нахождении угла или значения угла заданной тригонометрической функции. 

Рассмотрим на примерах простейших тригонометрических неравенств.

Пример 1:

\(cos x > \frac{1}{2}\)

Отметим значение \(\frac{1}{2}\) на оси косинусов и выделим промежуток, на котором значения больше \(\frac{1}{2}\). Далее выделим промежуток, для точек которого неравенство верно.

Важно: точки называем в соответствии с тригонометрической окружностью так, чтобы между ними можно было определить непрерывный промежуток.

Ответ: 

\(\large (-\frac{\pi}{3} + 2 \pi k, k \in Z; \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, k \in Z)\)

Пример 2:

\(cos x < \frac{1}{2}\)

Ответ:

\(\large (\frac{\pi}{3} + 2 \pi k, k \in Z; \frac{5\pi}{3} + 2 \pi k, k \in Z)\)

Пример 3:

\(sin x > \frac{1}{2}\)

Ответ:

\(\large (\frac{\pi}{6} + 2 \pi k, k \in Z; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi k, k \in Z)\)

Пример 4:

\(sin x < \frac{1}{2}\)

Здесь, как и в примере 1, называем точки так, чтобы в итоге можно было записать непрерывный промежуток.

Ответ: 

\(\large (-\frac{7 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in Z; \frac{\pi}{6} + 2 \pi k, k \in Z)\)

Пример 5:

tg x > 1

Важно: тангенс не существует в точках \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{3 \pi}{2}\), поэтому эти точки выкалываются.

Заметим, что получились диаметрально противоположные промежутки, таким образом можно записать только первый, но с периодом в половину окружности.

Ответ:

\(\large (\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z; \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z)\)

Пример 6:

tg x < 1

Выделяем нужный отрезок на прямой тангенсов, выкалываем несуществующие точки, обозначаем точки на одном витке по окружности и выделяем промежутки.

Ответ:

\(\large (-\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z; \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z)\)

Пример 7:

ctg x < 1

Важно: у котангенса не существуют точки 0 и \(\pi\).

Ответ:

\(\large (\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z; \pi + \pi k, k \in Z)\)

Пример 8:

ctg x > 1

Ответ:

\(\large (\pi k, k \in Z; \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z)\)

Алгоритм решения:

1. Отметить промежуток на прямой тригонометрической функции;
2. Найти граничные точки;
3. Отметить дугу или дуги и записать в ответ промежуток.

Рассмотрим решение простейшего неравенства более детально

\(\large sin\:x > -\frac{1}{2}\)

1. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней промежуток, где синус больше \(-\frac{1}{2}\).

2. Теперь найдем значения х, при которых синус х равен \(-\frac{1}{2}\),  используя тригонометрический круг, знак неравенства строгий – точки выколоты.

3. Отметим промежуток, который должен идти в ответ.

Ответ:

\(\large (-\frac{\pi}{6} + 2 \pi k, k \in Z; \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in Z)\)

Решение тригонометрических неравенств

Тригонометрические неравенства отличаются от тригонометрических уравнений только одним пунктом. В уравнениях ищутся отдельные решения, а в неравенствах — множество решений, которое чаще всего является промежутком(ами).

Есть ли универсальные решения в тригонометрии? Для решения тригонометрических неравенств можно применять те же методы, что и для решения тригонометрических уравнений: — Введение новой переменной — Разложение на множители

Основные способы решения тригонометрических неравенств:

Введение новой переменной.

Отличается лишь тем, что после замены переменной, нужно решать обычное неравенство и далее рассматривать промежуток.

Для сравнения рассмотрим неравенство с той же левой частью, что и предыдущее уравнение

3cos²x — 5cos x — 2 < 0

1. Введем новую переменную (не забудем указать, что cos x может принимать значения только от -1 до 1)

cos x = t, -1 ≤ t ≤1
3t² — 5t — 2 < 0

2. Решим неравенство и получим

\(-\frac{1}{3}<t<2\)

3. Так как -1≤t≤1 , неравенство t<2 будет выполняться всегда, опустим эту часть и сделаем обратную замену

\(cos x > -\frac{1}{3}\)

А теперь решим простейшее тригонометрическое неравенство. 

Ответ: 

\((-arccos(-\frac{1}{3}) + 2 \pi k, k \in Z; arccos(-\frac{1}{3}) + 2 \pi k, k \in Z)\)

Данная запись и является ответом .

Разложение на множители.

Аналогично рассмотрим неравенство

sin x * cos x — cos x > 0

1. Вынесем общий множитель за скобку

cos x * (sin x — 1) > 0

2. Запишем совокупность

3. У первой системы нет решений, так как синус не может быть больше 1.

Из второй системы получим 

\((\frac{\pi}{2} + 2 \pi k, k \in Z; \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi k, k \in Z)\)

Это и будет ответом.

Важно: Для решения квадратных, рациональных, дробно-рациональных и иррациональных тригонометрических неравенств сначала делается замена. Неравенство решается относительно новой переменной, используя методы решения неравенств данного типа. Далее совершается переход к изначальной переменной, и решается простейшее тригонометрическое неравенство.

Системы тригонометрических неравенств

Чтобы найти значение системы тригонометрических неравенств, нужно решить каждое неравенство отдельно и найти пресечение их решений.

Как промежутку попасть цель?.. …то есть в ответ системы тригонометрических неравенств. Решение системы неравенств можно сравнить с двумя реками, впадающими в море на определенном участке. У них в устьях стоят сетки, не пропускающие мусор в море.  Так и в системе неравенств: сначала решается каждое уравнение отдельно, а после пересекают найденные промежутки. В ответ идет промежуток, принадлежащий обоим неравенствам.

Рассмотрим следующий пример

Решим каждое уравнение отдельно

1. cos x >0 

Получим промежуток 

\(\large (-\frac{\pi}{2} + 2 \pi k, k \in Z; \frac{\pi}{2} + 2 \pi k, k \in Z)\)

2. 2sin²x — 3sin x -2 ≤ 0

Сделаем замену sin x = t, -1 ≤ t ≤ 1

2t² — 3t — 2 ≤ 0

Решим и получим следующий промежуток

\(-\frac{1}{2} ≤ t ≤ 2\)

 Сделаем обратную замену

\(-\frac{1}{2} ≤ sin\:x ≤ 2\)

 Так как sin x всегда меньше двух, опустим правую часть и решим простейшее тригонометрическое неравенство

-\(-\frac{1}{2} ≤ sin\:x\)

Получим промежуток 

\(\large [-\frac{\pi}{6} + 2 \pi k, k \in Z; \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in Z]\)

Отметим оба промежутка и найдём их пересечение.

Запишем найденный промежуток.

Ответ:

\(\large [-\frac{\pi}{6} + 2 \pi k, k \in Z; \frac{\pi}{2} + 2 \pi k, k \in Z)\)

Фактчек

• Тригонометрические уравнения и неравенства решаются методами введения новой переменной и разложения на множители.
• Квадратные, рациональные, дробно-рациональные и иррациональные тригонометрические неравенства решаются совершением замены. Затем используются методы решения неравенств данного типа, совершается переход к изначальной переменной, и решается простейшее тригонометрическое неравенство.
• Для решения системы уравнений сначала решается каждое неравенство отдельно, а потом находится пересечение.

Проверь себя

Задание 1.
Решите неравенство cos x ≤-1

1. Нет решений 
2. (-∞; +∞)
3. π+2πk, k∈z
4. 2πk, k∈z

Задание 2.
Решите неравенство ctg x  ≥-1

1. (k, kz; 4+k, kz ]
2. (k, kz; 4+k, kz )
3. Нет решений
4. (+k, kz; 76+k, kz )

Задание 3.
Решите уравнение 2cos x +4cos x sin x =0

1. -2+k, kz
2. -56+2k, kz;-6+2k, kz;-2+k, kz
3. Нет решений
4. При любом х

Задание 4.
Решите неравенство 2sin2x -3sin x <0

1. (2k, kz; +2k, kz )
2. (k, kz; +k, kz )
3. k, kz
4. +2k, kz

Задание 5.
Решите систему неравенств

1. [2+2k, kz; 54+2k, kz ]
2. Нет решений
3. (2+2k, kz; +2k, kz )
4. (2+2k, kz; 76+2k, kz ]

Ответы: 1. — 3; 2. — 1; 3. — 2; 4. — 1; 5. — 4