Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Системы уравнений

1.2.2022
737

На этой странице вы узнаете:

  • Что такое система уравнений?
  • Как решать системы уравнений методом сложения?
  • Как решать системы уравнений методом подстановки?
  • Почему не стоит решать систему уравнений графическим методом?

Система уравнений – это совокупность двух и более уравнений с одной или несколькими переменными, объединённые фигурной скобкой.

Переменная – это неизвестное число, обозначенное буквой

То есть, это уравнения, состоящие из одной и более переменных и выполняющиеся одновременно. Чтобы решить такую систему уравнений, нужно найти все её решения или доказать, что их нет. Решениями называют комбинации значений переменных, при которых все уравнения системы становятся верными

Рассмотрим примеры таких систем:

{2x+3y = 13 x*y = 5   система уравнений с двумя переменными

{x+y+z = 12 z+3*y = 13x*y = 6   система уравнений с тремя переменными

Существует три метода решения систем уравнений:

— графический метод

— метод сложения 

— метод подстановки

Методы решения систем

Графический метод решения систем уравнений заключается в построении графика для каждого уравнения, решения будут точки пересечения графиков, на практике такой метод очень неточный и удобен только для нахождения количества решений

Чтобы решить систему методом сложения, нужно умножить обе стороны одного или нескольких уравнений на число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными друг другу числами, далее нужно сложить уравнения системы и записать новую систему с использованием полученного уравнения и одного из более легких уравнений изначальной системы

Давайте рассмотрим на примере:

{6x-2y = 4x2-4x+10 = y

Перенесём у в левую часть уравнения

{6x-2y = 4x2-4x+10-y = 0

Умножим обе части первого уравнения на — 12 

{-3x+y = -2x2-4x+10-y = 0

Сложим первое и второе уравнения и составим систему из нового уравнения и первого

{x2-7x+12 = 0-3x+y = -2

Решим первое уравнение по теореме Виета и получим корни х = 3 и х = 4, рассмотрим случаи для каждого из корней и решим второе уравнение

{x = 3-9+y = -2   или {x = 4 -12+y = -2

Получим у = 7 и у = 10 , полученные решения запишем в виде координат(x; y): (3; 7), (4; 10)

Можно решить систему уравнений методом подстановки, для этого нужно выразить одну переменную из любого уравнения системы и подставить в другое, в новую систему нужно записать получившееся уравнение и более легкое в решении уравнение изначальной системы

Давайте рассмотрим на примере того же уравнения:

{6x-2y = 4 x2-4x+10 = y

Во втором уравнение уже выражена переменная y, подставим её в первое уравнение и запишем систему из нового уравнения с одной переменной и первого уравнения с двумя переменными

{6x-2(x2-4x+10)= 4 6x-2y = 4

Раскроем скобки у первого уравнения и приведём подобные слагаемые

{-2×2+14x-24 = 0 6x-2y = 4

Разделим обе стороны первого уравнения на -2 и найдём корни по теореме Виета, х = 3 и х = 4 , рассмотрим случаи для каждого из этих корней и решим второе уравнение

{x = 3 18-2y = 4 или {x = 4 24-2y = 4

Получим у = 7 и у = 10 , полученные решения запишем в виде координат(x; y): (3; 7), (4; 10)

К решению систем уравнений, состоящих из большего количества уравнений тоже можно применять эти методы 

Фактчек

Системой уравнений являются несколько уравнений с одной и более переменными, выполняющиеся одновременно.

Для решения систем уравнений используют три метода: графический, метод сложения и метод подстановки. Графический метод очень неточный, поэтому он удобен только для нахождения количества решений.

Метод сложения заключается в сложении двух уравнений так, чтобы получить одно из уравнений в системе с одной переменной и второе уравнение перенести из прошлой системы.

Для метода подстановки нужно выразить из любого уравнения одну неизвестную, подставить ее значение вместо этой переменной в другое уравнение и аналогично составить систему из нового уравнения и одного из уравнений начальной системы

Проверь себя

Задание 1.
Решить систему уравнений {x2+y=5 6x-y=2   

  1. (-7; -44), (1; 4)   
  2. (8; 15), (4; 1)  
  3. (11; -4), (1; 2)  
  4. (-7; -4), (3; 4)

Задание 2.
Решить систему уравнений {xy+x=0 x-y=7   

  1. (7; -2), (6; -1)  
  2. (0; -2), (5; -11)  
  3. (-7; 0), (6; 0)  
  4. (0; -7), (6; -1)

Задание 3.
Решить систему уравнений {x+xy2=0 x-y=5   

  1. (2; 3)  
  2. (0; -8)  
  3. (0; -5)  
  4. (2; -5)

Задание 4.
Решить систему уравнений {x+3y=16 xy=5

  1. (15;1) 
  2. (10;2) 
  3. (8;2) 
  4. (15;2)

Задание 5.
Решить систему уравнений {x-yx+y=0 x+y2=2  

  1. (-2; -3), (1; 1), (1; 0), (-2; 2)  
  2. (-2; -2), (-1; 1), (1; -1), (2; 2) 
  3. (-1; -2), (1; 2), (1; 0), (-1; 2)  
  4. (-2; -2), (1; 1), (1; -1), (-2; 2)

Ответы: 1. — 1; 2. — 4; 3. — 3; 4. — 2; 5. — 4.

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов