Параметр как переменная

Метод рассмотрения параметра как переменной

В задачах с параметром можно выделить метод рассмотрения параметра как переменной. Чаще всего такой метод применим в случаях, когда задача выглядит как уравнение или неравенство с рациональными коэффициентами при переменных, но степени переменных очень высокие, а степень параметра не превышает 2, то есть является квадратным относительно одной из неизвестных. Данный метод заключается в том, что такое уравнение или неравенство решается относительно параметра. Это сделать гораздо проще, чем работать с огромными степенями.

• Давайте рассмотрим параметр, который решается этим методом.

Найдите все значения а, при которых данное уравнение имеет только одно решение. 

2\left(x^3-a^3\right)+3x^2+a\left(2a^2+a+x\right)=0

Раскроем скобки в этом уравнении.

2x^3-2a^3+3x^2+2a^3+a^2+ax=0

Заметим, что а в кубе можно сократить.

2x^3+3x^2+ax+a^2=0

Рассмотрим это уравнение в виде квадратного уравнения относительно параметра а, перепишем его.

a^2+ax+2x^3+3x^2=0

Чтобы у данного квадратного уравнения было только одно решение, дискриминант должен быть равным нулю, давайте запишем дискриминант.

D=x^2-4\left(2x^3+3x^2\right)=x^2-8x^3-12x^2=-8x^3-11x^2=

= x^2\left(-8x-11\right)

 Приравняем его к нулю.

x^2\left(-8x-11\right)=0

Тогда  x² = 0 или (-8x -11) = 0,  решим уравнения и получим, что х= 0 или х= — 11/8, но нужно учесть, что при извлечении корня из дискриминанта подкоренное выражение не может быть отрицательным, а при х = 0 подкоренное выражение получится -11, значит этот корень не подходит. Остаётся единственный подходящий корень, х= -11/8. Найдём а при таком х.

2\cdot\left(-\frac{11}{8}\right)^3+3\cdot\left(-\frac{11}{8}\right)^2+a\cdot\left(-\frac{11}{8}\right)+a^2=0

a^2-\frac{11}{8}a+\left(-\frac{11}{8}\right)^2\cdot\frac{1}{4}=0

D=\left(\frac{11}{8}\right)^2-4\cdot\left(-\frac{11}{8}\right)^2\cdot\frac{1}{4}=0

a=\frac{11}{16}

Получилось, что а равно 11/16, именно это и является ответом к заданию.

При решении таких параметров стоит учитывать сколько решений должно иметь данное уравнение, для двух и более решений дискриминант должен быть положительный, для одного решения дискриминант равен нулю, а если не должно быть решений, то дискриминант отрицательный. Также в случаях, когда корни уравнения сами оказываются квадратными уравнениями, нужно обязательно делать проверку на равность корней в этих уравнениях, иначе если два корня разных уравнений равны, то решений окажется меньше, чем требуется в задании.

• Давайте рассмотрим немного другое уравнение 

Найдите все значения а, при которых данное уравнение имеет более одного решения, и запишите значения х, при которых будет только один корень

\frac{\left(2x+3\right)^4-a^2}{a-2}=0

Запишем в систему уравнений, что знаменатель дроби не равен нулю, а числитель равен

(2x+3)^4-a^2=0\ a-2\neq0\ 

Перепишем первое уравнение относительно параметра

a^2=\left(2x+3\right)^4

Перейдём к совокупности квадратных уравнений

a = -(2x+3)² или a = (2x+3)²

Раскроем скобки и соберём все слагаемые в левой части 

4x²+ 12x + 9 + a = 0 или 4x² + 12x + 9 — a = 0

Найдём дискриминанты данных уравнений. У первого дискриминант –а, у второго а. Заметим, что для первого уравнения тогда подходят все отрицательные числа, а для второго – все положительные, потому что для более одного корня дискриминант должен быть больше нуля. При а = 0 корни обоих уравнений будут совпадать, так как коэффициенты перед х и х^2 у них равны, значит при а = 0 будет всего 1 корень. Давайте посчитаем его.

a^2=\left(2x+3\right)^4

x=-\frac{3}{2}

Далее составим вот такую систему уравнений для а, при которых более одного корня. 

{a ≠ 0 a — 2 ≠ 0

Получим, что a может принимать любые числа кроме 0 и 2. 

Ответ:

\left(-\infty;0\right)\cup\left(0;2\right)\cup\left(2;+\infty\right)

более одного корня

При а = 0, х = — 3/2  — 1 корень

Фактчек

В данной части мы рассматривали один из методов решения параметров.

• Чтобы упростить задачу, в которой степени переменных больше чем два, а степени параметра не превышают двух, можно решать уравнение или неравенство относительно параметра, то есть параметр станет переменной. Примеры такого решения приведены выше.

Проверь себя

Задание 1.
Когда можно решать задание с параметром относительно параметра?

1. Когда у переменной степени больше двух, а у параметра не больше двух
2. Когда дано квадратное уравнение
3. В уравнениях с тригонометрией
4. Когда можно заменить какое-нибудь выражение на переменную

Задание 2.
Что нужно делать, чтобы решать задание относительно параметра?

1. Поменять местами буквы параметра и переменной в уравнении
2. Подставить удобное значение параметра и находить корни
3. Рассматривать параметр как переменную
4. Сразу искать дискриминант

Задание 3.
Чтобы у квадратного уравнения был один корень, каким должен быть дискриминант?

1. Положительный
2. Отрицательный
3. Равный нулю
4. Любым числом

Задание 4.
При каких значениях параметра данное уравнение имеет хотя бы одно решение:

\sqrt{a^2+3a}=x^2+4x

1. (-∞;-3) U (0;+∞)
2. (-∞;-3] U [0;+∞)
3. (-3;0)
4. [-3;0]

Задание 5.
При каких значениях параметра данное уравнение имеет хотя бы одно решение:

a\left(2+a\right)+s\dot{i}n^4x=0

1. (0;2)
2. (-2;0)
3. [-2;2]
4. [-2;0]

Ответы: 1. — 1; 2. — 3; 3. — 3; 4. — 2; 5. — 4.