Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Область допустимых значений

1.2.2022
269

На этой странице вы узнаете

  • Что такое ОДЗ?
  • Что такое допустимые и недопустимые значения переменной?
  • Для каких функций и выражений существуют ограничения?
  • Как решать примеры, в которых несколько разных ограничений? 

Значение переменных

При решении примеров с числами обычно не возникает проблем, поскольку каждое число имеет свое четко определенное значение. Но если нам встречается выражение с переменными, то мы сталкиваемся с новыми трудностями: переменная может принимать совершенно разные значения. Например, 3х = 6 при х = 2, 3х = 18 при х = 6 или 3х = 300 при х = 100. 

В более сложных уравнениях и неравенствах такое свойство может сыграть злую шутку: при некоторых значениях переменных выражения могут не существовать. Рассмотрим такие случаи чуть подробнее. 

Переменные в уравнениях и неравенствах могут принимать допустимые и недопустимые значения.

Допустимые значения переменной — это значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Выражение имеет смысл, если при данных значениях переменной можно посчитать его значение. 

Отсюда легко вывести понятие недопустимых значений переменных — это такие значения переменной, при которых выражение не имеет смысл. Выражение не имеет смысл, если невозможно посчитать его значение. 

Рассмотрим простой пример: выражение 1х имеет смысл при любом значении х, кроме 0 (поскольку на 0 делить нельзя). Получается, недопустимым значением переменной в данном случае будет 0, а все остальные значения, которые может принять х — допустимые. 

Из этих рассуждений мы можем вывести определение области допустимых значение (ОДЗ).

Область допустимых значений

Область допустимых значений — это множество всех переменных, при которых выражение имеет смысл, или, иначе говоря, это множество всех допустимых значений переменной. 

Почему важна ОДЗ? При решении сложных уравнений или неравенств бывает такое, что получаются недопустимые значения переменной. Если в таком примере не будет найдена ОДЗ, то исключить эти значения не получится и они попадут в ответ, тогда уравнение или неравенство будет решено неверно.

Рассмотрим пример. Необходимо решить уравнение
2-3х)/(х-5) = (х+5)/(х-5)
((х2-3х)/(х-5))-((х+5)/х)-5 = 0
2-3х-х-5)/(х-5) = 0
2-4х-5)/(х-5)=0

Дробь равна 0 в том случае, если числитель равен 0. Тогда получаем уравнение: х2-4х-5 = 0. Следовательно, х = 5 и х = -1. Казалось бы, ответ уже найден, но еще не проверены ограничения в уравнении. 

Вспомним, что знаменатель не может быть равен 0. Тогда проверим это условие:

х-5 ≠ 0

х ≠ 5

Следовательно, при х = 5 дроби не будут существовать, поскольку в знаменателе окажется 0, а на 0 делить нельзя. Тогда в ответ можно записать только один из двух корней, а именно х = -1. 

Теперь рассмотрим случаи, в которых необходимо находить ОДЗ: 

ОДЗ в выражениях с дробями

Как уже много раз подчеркивалось, знаменатель не может быть равен 0. Поэтому если в уравнении или неравенстве появляется знаменатель, первым делом нужно написать ограничения на него. 

Рассмотрим еще один пример: 

1/х+(х-3)/(х+17) = 1. В этом уравнении ОДЗ будет следующая: х ≠ 0 и х ≠ -17. Если мы запишем ОДЗ с помощью промежутков, то получится
х ∈ (-;-17) ∪ (-17;0) ∪ (0;+). 

ОДЗ корня

Если мы рассматриваем корень четной степени, то обязательно вспомнить, что подкоренное выражение не может принимать отрицательные значения: n√x, n — четное, следовательно х0. 

Так же если мы рассматриваем уравнение a=b, то получаем следующую систему:

Уравнение будет решаться только в тех случаях, когда переменные будут удовлетворять этой системе. 

Решим следующее уравнение: √(8-х) = 4+х.

Напишем ОДЗ: 8-х ≥ 0 и 4+х ≥ 0. Следовательно, х ≤ 8 и х ≥ -4. Получаем х ∈ [-4;8]. 

Теперь можно смело решать само уравнение: 

√(8-х) = 4+х
8-х=16+8х+х2
х2+9х+8=0

Решая уравнение, получаем: х = -1 и х = -8. 

Сравнивая с ОДЗ находим, что условию удовлетворяет только корень х = -1, следовательно, он и будет ответом. 

ОДЗ логарифма 

Логарифм также имеет свои ограничения, которые обязательно знать. 

Пусть у нас будет logab, тогда для него должны обязательно выполняться следующие ограничения: 

Рассмотрим пример. logx(24-5x) = 2. 

Запишем ОДЗ: х > 0, х ≠ 1 и 24-5х > 0. Следовательно, получаем систему из неравенств: 

Запишем ОДЗ в виде промежутка: х ∈ (0;1) ∪ (1;24/5). 

Теперь решим само уравнение: 

logx(24-5x) = 2

х2 = 24-5х

х2+5х-24 = 0

Решая уравнение, получаем корни х = -8 и х = 3. Сравнивая с ОДЗ понимаем, что уравнение будет существовать только при х = 3, следовательно, ответ – это х = 3. 

ОДЗ тригонометрической функции 

Для тригонометрических функций в том числе существуют ограничения. 

Рассмотрим ограничения для синуса и косинуса. Они могут принимать значения только от -1 до 1, то есть -1 ≤ cos x ≤ 1 и -1 ≤ sin x ≤ 1. 

Например, если при решении мы получаем выражение sin x = 2, то сразу можно сделать вывод, что у данного уравнения решений не будет. 

Теперь рассмотрим тангенс и котангенс. Выразим их через синус и косинус:

tg x=sin x/cos x и ctg x=cos x/sin x.
Заметим, что эти функции можно выразить через дробь, а следовательно появляется ограничение на знаменатель: он не может быть равен 0. 

Поэтому, если в примере появляется тангенс, то cos x ≠ 0. Следовательно, x ≠ π/2+πn, n ∈ Z. 

Если в примере появляется котангенс, то sin x 0. Следовательно, x πn, n ∈ Z. 

Мы рассмотрели основные случаи, когда может понадобиться ОДЗ. Если в примере будет несколько функций, которые требуют ОДЗ, то в ОДЗ записываются все ограничения, которые есть в задании, иначе ОДЗ будет неправильной. 

Например, 1/(√x) = x+3. В знаменателе стоит не просто переменная, а корень. Следовательно, в ОДЗ нужно записать ограничение и на знаменатель дроби, и на подкоренное выражение. 

Ниже приведена таблица, в которой указаны основные случаи, когда может потребоваться ОДЗ. 

Поскольку ОДЗ — важная часть решения, при выполнении всех уравнений и неравенств обязательно задавать вопрос “Есть ли в этом примере ограничения?”. Если они есть, обязательно их учитывать, чтобы избегать случаев, когда в ответ включаются значения, при которых выражение не будет существовать. 

Фактчек

  • Поскольку переменная может принимать различные значения, в выражениях с ней обязательно находить ОДЗ. Если ОДЗ не будет найдена, то в ответ может быть включено недопустимое значение переменной, то есть такое значение переменной, при котором выражение не будет существовать.
  • Для определения допустимых значений переменных нужно знать функции и выражения, в которых это требуется, а также ограничения, которые они накладывают.
  • Ограничения могут появиться в выражениях с дробями, с логарифмами, с корнями и с тригонометрическими функциями. Если в выражении несколько различных ограничений, то находятся допустимые значения для всех ограничений. 

Проверь себя

Задание 1.
В каком случае не требуется нахождение ОДЗ?

а) Уравнение с корнем;
б) Неравенство с логарифмом;
в) Уравнение с котангенсом;
г) Во всех перечисленных случаях требуется нахождение ОДЗ. 

Задание 2.
Какое ограничение накладывает дробь?

а) Числитель не может быть равен 0;
б) Знаменатель не может быть равен 0;
в) Знаменатель должен быть строго больше 0;
г) Знаменатель должен быть неотрицательным числом. 

Задание 3.
Какое ограничение накладывает корень? 

а) Подкоренное выражение должно быть строго больше 0;
б) Подкоренное выражение должно быть больше или равно 0;
в) Подкоренное выражение должно быть отрицательным;
г) Подкоренное выражение должно быть равно 0.

Задание 4.
Какое ограничение существует для аргумента логарифма?

а) Он должен быть строго больше 0;
б) Он должен быть больше или равен 0;
в) Он не может равняться 1;
г) Он должен быть строго больше 0 и не может быть равен 1. 

Задание 5.
В уравнении появляется тангенс. Какое ограничение он накладывает?

а) Синус не может быть равен 0;
б) Косинус не может быть равен 0;
в) Синус и косинус не могут быть равны 0;
г) Тангенс может принимать значения от -1 до 1 включительно. 

Ответы: 1. — г; 2. — б; 3. — б; 4. — а; 5. — б. 

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов