Корень n-ой степени, рациональная степень числа

Для введения понятия корня n степени необходимо вспомнить рациональную степень числа. 

В рациональной степени числа в показателе стоит рациональное число. Рациональные числа — это целые числа и числа, которые можно записать с помощью дроби m/n, где m — целое, n — натуральное. Например, 1/2, -11, 32, -17/18 – рациональные числа. 

Тогда число а в рациональной степени можно записать как a^m/n Для такого выражения будет справедливо равенство: a^m/n = ⁿ√a^m

При а > 0

Рассмотрим, почему а не может быть отрицательным числом и равняться 0.

Если а = 0, то мы не сможем возвести это число в отрицательную степень или в степень 0, поскольку делить на 0 нельзя. Например:

0^{-1}=\frac{1}{0^1}=\frac{1}{0}

Если а < 0, то мы можем столкнуться со следующим парадоксом. Пусть а = -1, возведем это число в степень 1/7 и 2/14, при этом заметим, что 1/7 = 2/14. 

\left(-1\right)^\frac{1}{7}=\sqrt[7]{\left(-1\right)^1}=\sqrt[7]{\left(-1\right)}=-1

\left(-1\right)^\frac{2}{14}=\sqrt[14]{\left(-1\right)^2}=\sqrt[14]{1}=1

Одно и то же выражение не может быть равно двум разным числам, следовательно, основание не может быть отрицательным. 

Теперь можно перейти к корню в n степени. Введем его понятие. Пусть n — натуральное число, тогда корень степени n из числа а — это число b, которое при возведение в степень n равняется числу а. 

\sqrt[n]{a}=b

a=b^n

Следовательно, извлечение корня — это действие, обратное возведению в степень. При извлечении корня мы узнаем, в какую степень нужно возвести число, чтобы получилось данное число. 

В корне ⁿ√a n — показатель корня, а — подкоренное число. 

Корень степени 2 называется квадратным корнем. В записи квадратного корня показатель корня не пишется: ²√a = √a. 

Корень степени 3, то есть ³√a называется кубическим корнем. 

Рассмотрим возведение числа в четную и нечетную степень. 

Например, возведем в четную степень 2 числа 1 и -1: 1²=1 и (-1)²=1. 

А теперь возведем те же числа в нечетную степень 3: 1³=1 и (-1)³=-1. 

Поскольку корень — это операция, обратная возведению в степень, то мы можем сделать следующие выводы:

• При вычислении корня нечетной степени из любого действительного числа получается только один результат. При этом если подкоренное выражение отрицательное, то ответ отрицательный, если подкоренное выражение положительное, то ответ положительный, а если подкоренное выражение равно 0, то и ответ равен 0; Например:

\sqrt[3]{-8}=-2

\sqrt[5]{243}=3

\sqrt[17]{0}=0.

• При вычислении корня четной степени из любого положительного числа получается два ответа, которые отличаются только знаком. Корень четной степени из 0 равен 0. Корень четной степени из отрицательного числа не существует, поскольку при возведение в четную степень невозможно получить отрицательное число. 

Например, 4 = 土2

¹⁰⁰√0 = 0. 

Выражение ⁴√-256 не имеет смысла. 

Следовательно, если в выражении ⁿ√a n — четное число, то выражение имеет смысл только при а ≥ 0. 

Арифметический корень n из числа а — это неотрицательный корень степени n из числа а. 

Для корня нечетной степени существует только один ответ и он неотрицателен в случае, если подкоренное выражение неотрицательно. Поэтому арифметическим корнем для нечетной степени будет корень степени n из неотрицательного числа. 

Например, ³√27 = 3 — арифметической корень, а вот ³√ -27= -3 уже не будет являться арифметическим корнем. 

Рассмотрим корень с четным показателем. Как уже было найдено, при извлечении четного корня из положительного числа получается два ответа na и -na. В этом случае арифметическим корнем при извлечении четного корня будет считаться только ⁿ√a, что следует из определения. 

Например, √64 = 8 — арифметический корень, √64 = 土8 уже не является арифметическим корнем. 

Корень степени n (n>0) из 0 всегда будет арифметическим, поскольку при извлечении корня из 0 получается единственное неотрицательное число: ⁿ√0 = 0. 

Как можно было заметить, не всегда можно вычислить значение корня. Тогда какие ограничения существуют для корня? 

В корне четной степени подкоренное выражение обязательно должно быть больше или равно 0. Как было рассмотрено выше, ни одно число в четной степени не будет отрицательным: 2⁴ = 16, 0¹⁵⁰ = 0, (-13)² = 169. 

Рассмотрим свойства корней.

1.  Если в подкоренном выражении стоит произведение чисел или переменных, то такой корень можно представить как произведение двух корней:

\sqrt[n]{a\ast b}=\sqrt[n]{a}\ast\sqrt[n]{b}

Например,

\sqrt[3]{27a}=\sqrt[3]{27}\ast\sqrt[3]{a}=3\sqrt[3]{a}.

2. Если под корнем стоит дробь, то можно отдельно извлечь корень из числителя и отдельно из знаменателя:

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

Например,

\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{\sqrt4}{\sqrt{25}}=\frac{2}{5}=0,4

3. Если корень n степени необходимо возвести в степень m, то можно возвести подкоренное выражение в эту степень. 

Рассмотрим, почему работает это свойство. Любой корень можно представить как число в дробной степени, тогда ⁿ√a = a^1/n. Возведем это выражение в степень m и воспользуемся свойством степеней:

{(a^\frac{1}{n})}^m=a^{\frac{1}{n}\ast m}=a^\frac{m}{n}

Полученный результат мы можем представить в виде корня:

{(a^\frac{1}{n})}^m=a^{\frac{1}{n}\ast m}=a^\frac{m}{n}

Таким образом мы получаем свойство

\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{a^m}

Например,

{(\sqrt[4]{4})}^2=\sqrt[4]{4^2}=\sqrt[4]{16}=2

4. Если необходимо извлечь корень из корня, то такое выражение можно представить как корень, показателем которого будет произведение показателей данных корней:

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n\ast m]{a}

Выведение этого свойства можно также рассмотреть с помощью степеней:

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = {(\sqrt[m]{a})}^\frac{1}{n}={{(a}^\frac{1}{m})}^\frac{1}{n}=a^{\frac{1}{m}\ast\frac{1}{n}}=a^\frac{1}{m\ast n}=\sqrt[m\ast n]{a}

Например,

\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt[4]{81}=3

5. Любой корень можно представить в виде числа в дробной степени:

a^\frac{n}{m} = \sqrt[m]{a^n}

Например: ⁴√2^x = 2^x/4

6. Если в показателе корня и в степени подкоренного выражения стоит одинаковая переменная, то она сокращается. Например,

\sqrt[6]{8}=\sqrt[2\ast3]{2^3}=\sqrt2

7. Если возвести корень в степень, равную показателю корня, то получится подкоренное выражение: (ⁿ√a)ⁿ = a. Например,  

{(\sqrt{0,1})}^2=0,1

Стоит заметить, что все свойства работают в обе стороны: то есть их можно применять как справа налево, так и слева направо. 

Ниже приведена краткая таблица со свойствами корней. 

Свойства корней

Фактчек

• Если в степени числа стоит дробное выражение, то такую запись можно представить в виде числа под корнем степени n: а^m/n = ⁿ√a^m. Корень степени n из числа а — это число b, которое при возведение в степень n равняется числу а, следовательно извлечение корня — это действие, обратное возведению в степень.
• Существует четная и нечетная степень корня, при этом подкоренное выражение в четной степени корня должно быть больше или равно 0.
• Арифметический корень n из числа а — это неотрицательный корень степени n из числа а. 
• Корни обладают своими свойствами, которые необходимо знать для быстрого и правильного решения примеров и преобразований выражений. 

Проверь себя

Задание 1

Какое число рациональное?

а) 1/3;
б) √3;
в) √-3;
г) 2/√17. 

Задание 2

Какое число может стоять в основании рациональной степени?

а) Любое;
б) Положительное и отрицательное;
в) Положительное и 0;
г) Только положительное. 

Задание 3

Сколько ответов получается при вычислении корня четной степени из положительного числа?

а) Один;
б) Два;
в) Три;
г) Такой корень невозможно вычислить. 

Задание 4

Какие значения может принимать подкоренное выражение корня четной степени?

а) Только положительные;
б) Положительные и 0;
в) Любые;
г) Только отрицательные. 

Задание 5

Найдите значение выражения:

\sqrt[4]{\sqrt[3]{4096}}

а) 2;
б) 4;
в) 64;
г) 16. 

Ответы: 1. — а; 2. — г; 3. — б; 4. — б; 5. — а.