Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Дополнительные формулы тригонометрии

1.2.2022
403

Формулы приведения

В тригонометрических выражениях или уравнениях часто можно столкнуться с ситуацией, когда дан синус, косинус, тангенс или котангенс угла х, который откладывается от вертикальной или горизонтальной оси, например, cos (x+π/2) или sin x+π . Для всех таких записей существуют специальные формулы, их называют формулами приведения, но запомнить их все достаточно сложно, поэтому рассмотрим правило, которое поможет вам упростить решение и избавиться от известного слагаемого в угле тригонометрической функции

Правило лошади

Формулировка: Если откладывать угол от вертикальной оси, лошадь говорит “да” и кивает, водя головой по вертикальной оси, тогда значение изначальной функции меняется на кофункцию, а если откладывать угол от горизонтальной оси, лошадь говорит “нет” и мотает головой, водя по горизонтальной оси, тогда функция не меняется

Применив правило лошади, нужно обязательно определить знак новой функции от х. Её знак совпадает со знаком изначальной функции

Вспомним знаки функций в разных четвертях 

Рассмотрим на примере, как применять данное правило

Дана функция (x+3π/2) , применим правило лошади и узнаем меняется ли функция на противоположную. 3π/2 находится на горизонтальной оси, значит лошадь кивает, и функция tg меняется на кофункцию ctg, далее нужно разобраться со знаком. Так как tg в 4-ой четверти отрицательный, значит перед ctg ставим минус и получим 

(x+3π/2) = -x

Синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла, суммы или разности углов и формулы понижения степени

Рассмотрим формулы двойных углов, они могут быть полезны, если аргумент тригонометрической функции является четным числом, то есть аргумент тригонометрической функции можно представить в виде 2* Стоит отметить, что для косинуса двойного угла существует не одна формула

Синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла 

{sin}sin\ 2\alpha\ =2{sin}sin\ \alpha{cos}cos\ \alpha\ \ 
{cos}cos\ 2\alpha\ =\alpha\ -\alpha\ =1-2\alpha\ 
2\alpha\ =\frac{2\alpha\ }{1-\alpha\ }
2\alpha\ =\frac{c\alpha\ -1}{2c\alpha\ }

Также в тригонометрии есть формулы сложения и вычитания углов, применяя их, можно перейти от суммы или разности в аргументе к выражению, содержащему тригонометрические функции от слагаемых, давайте их рассмотрим:

{sin}sin\ \left(\alpha\pm\beta\right)\ ={sin}sin\ \alpha{cos}cos\ \beta\ \ \pm{cos}cos\ \alpha{sin}sin\ \beta\ \ 
{cos}cos\ \left(\alpha\pm\beta\right)\ ={cos}cos\ \alpha{cos}cos\ \beta\ \ \mp{sin}sin\ \alpha{sin}sin\ \beta\ \ 
tg\left(\alpha\pm\beta\right)=\frac{\alpha\ \pm\beta\ }{1\mp\alpha\ tg\beta}
\left(\alpha\pm\beta\right)=\frac{\alpha\beta\ \ \mp1}{\beta\ \pm\alpha\ }

Для решения можно использовать формулы понижения степени. Они помогают уйти от степени в тригонометрической функции, ниже вам представлены эти формулы:

\alpha\ =\frac{1-{cos}cos\ 2\alpha\ }{2}
\alpha\ =\frac{1-{cos}cos\ 2\alpha\ }{1+{cos}cos\ 2\alpha\ }
\alpha\ =\frac{1+{cos}cos\ 2\alpha\ }{2}
\alpha\ =\frac{1+{cos}cos\ 2\alpha\ }{1-{cos}cos\ 2\alpha\ }

Сумма, разность и произведение синусов и косинусов

Формулы суммы и разности синусов и косинусов могут помочь, когда нужно перейти к произведению тригонометрических функций. А формулы произведения синусов и косинусов применяются в обратном случае, когда нужно от произведения перейти к сумме или разности

Сумма и разность синусов и косинусов 

Произведение синусов и косинусов

Фактчек

Формулы приведения в тригонометрии упрощают решение уравнений со сложным аргументом. Так как этих формул много, применяется правило лошади, которое помогает не заучивать формулы приведения. Пользуясь данным правилом, сначала определяют функцию, а потом знак перед этой функцией. Также в тригонометрии есть и другие дополнительные формулы, например, формулы двойного угла, суммы или разности углов и формулы понижения степени. Также можно применять формулы суммы, разности и произведения синусов и косинусов.

Проверь себя

Задание 1

Чему равно:

{sin}sin\ \left(x+\frac{7\pi}{2}\right)\ 
  1. sin x    
  2. — cos x  
  3. — sin x
  4.  cos x

Задание 2

Чему равно:

2{sin}sin\ 2\pi\ {cos}cos\ 2\pi\ 
  1. sin 4π  
  2. sin 2π    
  3. cos 4π     
  4. 2π  

Задание 3

Чему равно:

{cos}cos\ \left(\frac{3\pi}{2}+\pi\right)\ 
  1. cos(3π/2)sin + sin(3π/2)cos      
  2. sin(3π/2)sin — cos(3π/2)cos  
  3. cos(3π/2)cos — sin(3π/2)sin  
  4. cos(3π/2)cos + sin(3π/2)sin  

Задание 4

Чему равно:

\left({cos}cos\ {45}^0\ \right)^2
  1. (1+cos 45o) / 2
  2. (1+cos 90o) / 2
  3. (1-cos 90o) / 2
  4. (1-cos 45o) / 2

Задание 5

Чему равно:

\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)\ 
  1. x
  2. -x
  3. 2x
  4. -2x

Ответы: 1. — 4; 2. — 1; 3. — 3; 4. — 2; 5. — 4.

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов