Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Действия с одночленами и многочленами

1.2.2022
334

Действия с одночленами 

При решении задач можно часто столкнуться с одной или несколькими переменными, то есть решение будет сведено не к действию с числами, а к действию с буквами. Но в этом нет ничего страшного, поскольку в математике есть способы решать такие задачи. Для разбора этой темы необходимо ввести понятия одночлена и многочлена. 

Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней с натуральным показателем. Одночленами могут быть любые числа, переменные, степени переменных. Например, 0, 101, -2а, ху, b4, 3х2y6z9 – одночлены. Заметим, что одночлен — это именно произведение переменных и их коэффициентов, если между переменными стоит другой знак (не умножение), то такое выражение уже не будет являться одночленом. Например, х+у, 2a-b2, 10/z уже не являются одночленами. 

Однако одночлены не всегда даны в стандартном виде, в котором удобно работать с ними. Например, одночлен 2х2*45хуz3 можно привести к виду 90х3уz3. Во втором случае одночлен будет иметь стандартный вид.

Стандартный вид одночлена — это вид одночлена, в котором он представлен как произведение числового множителя и неповторяющихся буквенных множителей в разных степенях. При этом числовой множитель будет называться коэффициентом одночлена

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, необходимо: 

1. Умножить все числа в одночлене и поставить их произведение на первое место;

2. Умножить все имеющиеся множители с одинаковыми буквенными переменными. 

Например, 2х*3ху не будет стандартным видом. Чтобы привести одночлен к стандартному виду, воспользуемся алгоритмом и умножим числа и одинаковые буквы между собой, получаем: 2х*3ху=2*3*х*х*у=6х2у — стандартный вид одночлена. 

Теперь рассмотрим действия с одночленами. 

Сложение

Сложить можно не все одночлены. Например, нельзя сложить х+у так, чтобы получился одночлен, несмотря на то, что х и у по отдельности являются одночленами. Тогда какие одночлены можно сложить? 

Сложить можно только подобные одночлены. Подобные одночлены — это одночлены, которые состоят из одинаковых переменных в одинаковых степенях. 79a2b и a2b — подобные одночлены, а вот 79a2b и a2b2 уже не являются подобными (поскольку у множителя b разная степень). 

Чтобы сложить подобные одночлены, нужно выполнить следующий алгоритм:

1. Привести все одночлены к стандартному виду;

2. Сложить коэффициенты подобных одночленов. 

Например, 18a2b4c+2ab*37ab3c=18a2b4c+74a2b4c=92a2b4c. 

Вычитание 

Вычитание так же можно проводить только с подобными одночленами. Вычитание одночленов очень похоже на сложение. Необходимо:

1. Привести все одночлены к стандартному виду;

2. Вычесть коэффициенты подобных одночленов. 

Например, ху-5ху = -4ху (если перед одночленом не стоит коэффициент, то он равен единице: х = 1*х) 

Умножение 

Умножение можно проводить с любыми одночленами, при этом неважно являются они подобными или нет. 

Чтобы умножить одночлен на одночлен, необходимо:

1. Умножить их коэффициенты;

2. Если в одночленах встречаются одинаковые буквенные переменные, то необходимо сложить их степени. 

Например, 2а2с8*5а4с3d = 2*5*а(2+4)с(8+3)d = 10a6c11d.  

Деление 

Деление одночлена на одночлен очень похоже на умножение, но в этом случае коэффициенты будут делиться, а показатели степени у одинаковых буквенных переменных будут не складываться, а вычитаться. 

Таким образом получаем следующий алгоритм. 

Чтобы разделить одночлен на одночлен, необходимо:

1. Разделить их коэффициенты;

2. Если в одночленах встречаются одинаковые буквенные переменные, то необходимо вычесть их степени

Например,

Однако при делении не всегда можно получить одночлен. Например, если мы разделим 45х3 на ху, то получим:

Это выражение уже не является одночленом. 

Возведение в степень 

Если необходимо возвести в степень одночлен, то в эту степень возводится каждый его множитель. При этом если один или несколько буквенных множителей уже будут иметь степень, то значение этой степени умножается на значение степени, в которую необходимо возвести одночлен (то есть используется свойство степеней: (an)m = anm). 

Например, (2х26у)2 = 4х52у2

Действия с многочленами

Для дальнейших рассуждений введем новое понятие. 

Многочлен — это сумма или разность одночленов. Например, у нас есть одночлены 2, х и у, если мы сложим их, то получим многочлен 2+х+у. 38+х2-32у4 также будет являться многочленом.
Однако не все алгебраические выражения будут многочленами, например, 5-2/х не является многочленом. 

Слагаемые, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена. 

Возникает вопрос: если у одночлена есть стандартный вид, то существует ли он у многочлена? Да, существует! 

Рассмотрим многочлен 0,1х2*150ху-х3у+36-х+у2. Его можно преобразовать следующим образом:

0,1х2*150ху-х3у+36-х+у2 = 15х3у-х3у+36-х+у2 = 14х3у+36-х+у2. В преобразованном виде многочлен выглядит “компактнее” и легче воспринимается. 

Таким образом, стандартный вид многочлена — это такой вид многочлена, в котором все члены приведены к стандартному виду и среди них нет подобных одночленов. 

Если при приведении к стандартному виду многочлена появляются подобные одночлены, то их необходимо сложить или вычесть, иначе эту операцию можно назвать приведением подобных членов. 

При выполнении действий с многочленом необходимо приводить его к стандартному виду, поскольку это может значительно облегчить вычисления. 

Сложение и вычитание

Чтобы сложить или вычесть многочлены, необходимо следовать следующему алгоритму:

1. Привести многочлены к стандартному виду;

2. Записать многочлены в скобках, между которыми ставится нужный знак;

3. Раскрыть скобки;

4. Привести подобные члены. 

Рассмотрим пример сложения: необходимо сложить многочлены 3у*ху3+5-у+х2 и ху*7у3-1+67у

Приведем их к стандартному виду, получаем: 3ху4+5-у+х2 и 7ху4-1+67у. 

Теперь запишем их сумму, взяв каждый многочлен в скобки: (3ху4 + 5 — у + х2) + (7ху4 — 1 + 67у). Раскроем скобки. 

При этом нужно следовать следующему правилу:

  • Если перед скобкой стоит знак “+”, то при раскрытии скобок слагаемые не меняются;
  • Если перед скобкой стоит знак “-”, то при раскрытии скобок все слагаемые записываются с противоположным знаком. 

Тогда получаем: 3ху4 + 5 — у + х2 + 7ху4 — 1 + 67у = 10ху4 + 4 + 66у + х2

В качестве второго примера рассмотрим вычитание. Необходимо из многочлена 23а + 4b2 — a + 28ab — 1 вычесть 97 + 37а — b2. Получаем: 

(23а + 4b2 — a + 28ab — 1) — (97 + 37а — b2) = (22а + 28аb + 4b2 — 1) — (97 + 37a — b2) = 22a + 28ab + 4b2 — 1 — 97 — 37a + b2 = -15a + 28ab + 5b2 — 98. 

Умножение

Вспомним распределительное свойство умножения: а(b+c) = ab+ac. В основе умножения многочленов лежит именно оно! 

Рассмотрим умножение многочлена на одночлен. Чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена умножить на одночлен. 

Например, х+5у нужно умножить на z: (х+5у)*z = xz+5yz. 

Рассмотрим пример чуть сложнее:

(a5b2 — ac) * (-3b) = (-3b) * (a5b2) — (-3b) * (ac) = -3a5b3 — (-3abc) = -3a5b3 + 3abc. 

Это же правило работает и при умножении одночлена на многочлен. 

Умножение многочлена на многочлен чуть сложнее, но тоже основывается на распределительном свойстве умножения. Например, необходимо умножить две скобки: (а+b)(c+d). Сделаем замену, пусть е=c+d, тогда получаем выражение (а+b)e = ae+be. Обратная замена: а(c+d)+b(c+d) = ac+ad+bc+bd. 

Таким образом, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. 

Например, (х2-18х+1)(х-3) = х2*х-18х*х+1*х+х2*(-3)-18х*(-3)+1*(-3) = х3-18х2+х-3х2+54х-3 = х3-21х2+55х-3. 

Деление 

Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена разделить на одночлен. Однако следует заметить, что не всегда при делении получится многочлен. 

Например,

в этом случае получился многочлен

Рассмотрим очень похожий пример:

это выражение уже не является многочленом

 

Деление многочлена на многочлен значительно сложнее. Рассмотрим пример и умножим 3+х на х2-1: (3+х)(х2-1)=3х2-3+х3-х. Тогда, если мы полученный результат разделим на 3+х, то получим

А если на х2-1, то получим:

Если мы сделаем замены, то наглядно увидим, как строится это рассуждение. Пусть а*b = c, тогда а = с/b и b = c/a.

Однако устно провести эту операцию трудно, особенно если мы не знаем изначальные множители. В таких случаях на помощь может прийти деление “уголком”. 

Например, необходимо разделить х32+х+3 на х+1. Запишем деление в виде столбика (также, как при делении столбиком обычных чисел). Дальше нужно определить в делимом слагаемое с наибольшей степенью и разделить его на слагаемое с большей степенью в делителе: х3: х = х2. То есть первым множителем будет х2, записываем его в ответ и умножаем на х+1: х2(х+1) = х32

Полученный результат вычитаем из первых двух слагаемых делимого и ищем остаток. Получается х32-(х32) = х3232 = -2х2.

Дальше повторяем такой же алгоритм с остатком: делим слагаемое с наибольшей степенью в остатке на х, получаем -2х2:х=-2х. Умножаем х+1 на -2х: (х+1)(-2х)=-2х2-2х. Вычитаем полученный многочлен из остатка (к остатку при необходимости дописываем следующее слагаемое из многочлена, который делим): 

-2х2+х-(-2х2-2х)=-2х2+х+2х2+2х=3х. 

Еще раз повторяем такой же алгоритм и получаем ответ без остатка. 

Таким образом мы смогли посчитать:

В экзамене по математике редко встречаются простые вычисления. Именно поэтому важно хорошо уметь преобразовывать выражение, уметь выполнять действия как с числами, так и с одночленами и многочленами. 

Фактчек

  • При решении заданий можно столкнуться с одночленами и многочленами.
  • Одночлены — это это произведение чисел и переменных, а многочлены — сумма нескольких одночленов.
  • У многочленов и одночленов существуют стандартные виды, к которым их необходимо приводить для удобства вычислений. С ними можно совершать все арифметические операция от сложения до извлечения корня.
  • Умение быстро и правильно работать с одночленами и многочленами поможет совершать различные преобразования в выражениях, тем самым значительно упрощая решение. 

Проверь себя

Задание 1.
Что такое одночлен? 

а) Произведение чисел, переменных и их степеней;
б) Сумма чисел, переменных и их степеней;
в) Разность чисел, переменных и их степеней;
г) Частное чисел, переменных и их степеней. 

Задание 2.
Выберите подобные одночлены.

а) 27а2 и 27а;
б) 2х и х;
в) ху и 4х; 
г) 17a10b6c4 и 17a10b6.

Задание 3.
Найдите значение выражения (5x2y10z)2

а) 25x4y12z3
б) 5x4y20z2;
в) 25x2y10z;
г) 25x4y20z2.

Задание 4.
Какое из выражений является многочленом?

а) xyz;
б) x+y+1;
в) xy-2+1/z;
г) (x+y)/z. 

Задание 5.
Найдите значение выражения (xy+x2-25)-(3xy-2).

а) x2-2xy-23;
б) x2-2xy-27;
в) x2+4xy-27;
г) -x2-4xy+27.

Ответы: 1. — а; 2. — б; 3. — г; 4. — б; 5. — а.

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов