Действия с дробями

Что такое дробь?

При решении математических задач невозможно не столкнуться с дробями, поэтому необходимо свободно владеть ими и их свойствами. 

Дробь – это часть от числа. 

Простой пример для понимания – это пицца. У нас есть целая пицца, которая разрезана на восемь кусочков, тогда каждый кусочек – часть от пиццы. Следует заметить, что дробь — это деление, но записанное в другой форме. Она состоит из числителя и знаменателя. 

Числитель – это число, которое делят, знаменатель – число, на которое делят. Числитель записывается над чертой, а знаменатель под ней. Например, запись 2/3 значит, что 2 (числитель) разделили на 3 (знаменатель). Возвращаясь к пицце, вспоминаем, что у нас 8 кусочков. Если взять один, то получится 1/8 от пиццы, если взять 3, то получится 3/8 от пиццы. 

Существует понятие правильной дроби — это дробь, у которой знаменатель больше числителя. Например, 1/2, 189/10056, 17/50 — правильные дроби. Если знаменатель совпадает с числителем или меньше его, то такие дроби называются неправильными. 5/2, 100/100, 17/4 — неправильные дроби. 

Правильные дроби всегда будут меньше 1, а вот неправильные либо равны (если числитель и знаменатель совпадают), либо больше 1. 

Неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа. Для этого необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Тогда полученное число будет целой частью, остаток  станет числителем, а знаменатель сохранится. 

Например, 41/7 необходимо представить в виде смешанной дроби . Разделим 40 на 7, получим 5 и остаток 6. Тогда 41/7 = 56/7. 

Действия с дробями

Следует заметить, что с дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами. Для них также характерны операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. 

Дробь обладает очень важным свойством, которое называется основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одинаковое число, то значение дроби не меняется. Этим свойством можно пользоваться, когда необходимо прийти к определенному значению знаменателя или при сокращении дроби. 

Чтобы лучше понять это свойство, можно заметить, что при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, мы умножаем дробь на единицу (число, деленное на само себя, дает единицу). Например, 3/3 = 1, тогда при умножении дроби получается (1*3)/(2*3) = 1/2*1. Именно из-за умножения и деления дроби на единицу не меняется ее значение, но меняются числитель и знаменатель. 

Например, 2/5 = (2*3)/(5*3) = 6/15. Получается, что 2/5 и 6/15 – одно и то же число, но в разных записях. 

Другой пример, когда мы можем сократить дробь, 120/50 = (120:10)/(50:10) = 12/5 * 120/50 и 12/5 так же являются разной записью одного и того же числа. 

Теперь рассмотрим действия с дробями. 

Сложение

Можно складывать дроби с одинаковыми или с разными знаменателями, для каждого из этих случаев будет разный алгоритм действий.

Если мы складываем дроби с одинаковым знаменателем, то необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. Например, 1/7 + 3/7 = (1+3)/7 = 4/7. То есть мы берем несколько одинаковых частей от чего-то и складываем их между собой. 

Следует заметить, что складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями. Но что, если у нас в примере даны дроби с разными знаменателями?

Тогда необходимо привести их к общему знаменателю, и уже после сложить их числители. 

Чтобы привести дробь к общему знаменателю, необходимо воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Найти общее кратное знаменателей (желательно находить наименьшее общее кратное, чтобы упростить счет);

2. Разделить найденное число на знаменатели. Полученные числа будут дополнительными множителями для соответствующих дробей;

3. Умножить числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель. 

Например, необходимо сложить дроби 5/6 и 2/9. Обязательно, чтобы в знаменателе было одинаковое число, которое делится и на 6, и на 9. В нашем случае это 18 = 6*3 = 9*2. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй на 2 (3 и 2 будут дополнительными множителями), получаем: 

Таким образом, можно сложить любые дроби, если привести их к общему знаменателю. 

Вычитание

Вычитание дробей очень похоже на сложение. Если необходимо вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, то вычитается числитель первой дроби из числителя второй, а знаменатель остается без изменений.
Например,

Если необходимо вычесть дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводятся к общему знаменателю, а после числитель одной вычитается из числителя другой. 
Например,  

Умножение

Чтобы перемножить дроби, необходимо умножить их числители и их знаменатели. Например,

Следует заметить, что если при умножении числитель одной дроби и знаменатель другой имеют общий делитель, то их можно сократить. Например,

В этом примере числитель 2 и знаменатель 4 имеют общий делитель 2. Если записать этот же пример без сокращения, то получится:

При умножении числа на дробь умножается это число и числитель, а знаменатель остается прежним. Например,

Если чуть подробнее разобрать этот пример, то можно вспомнить, что если разделить любое число на 1, то его значение не изменится. Тогда 5 и 5/1 будет разной записью одного и того же числа. Отсюда получаем:

Для дальнейших рассуждений необходимо рассмотреть понятие обратного числа. Обратное число — это число, при умножении на которое данное число дает 1. Чтобы получить обратное число, можно представить данное число в виде дроби, а потом перевернуть ее (то есть поменять местами числитель и знаменатель). 

Пусть нам дано число 8, в виде дроби оно будет записано как 8/1. Чтобы получить обратное число, необходимо перевернуть дробь, тогда получится 1/8. Проверяем: 1/8*8=8/8=1. Условие выполняется, значит 1/8 — обратное число к 8. 

Деление 

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Рассмотрим деление двух дробей, допустим, необходимо решить пример 5/17:2/3. Чтобы решить этот пример, нужно перевернуть вторую дробь (то есть получить обратное число к числу 23), а знак деления заменить на умножение: 5/17*3/2. Дальше пример решается как умножение двух дробей:

Такое же правило действует, если необходимо разделить число на дробь или дробь на число: необходимо заменить делитель на число, обратное к нему, а деление — на умножение. 

Пример деления числа на дробь:

Пример деления дроби на число:

Возведение в степень

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в степень и числитель, и знаменатель. 

Например,

Извлечение корня 

Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь корень и из числителя, и из знаменателя. 

Например,

Фактчек

• Дробь — это часть от какого-то числа или выражения. Но также дробь — это деление, записанное в другой форме. Дроби бывают правильными и неправильными, при этом неправильные дроби можно представить в виде смешанных чисел.
• Над дробями можно выполнять такие же действия, что и с числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Каждое действие с дробями обладает своими свойствами, которые необходимо знать. 

Проверь себя

Задание 1.
Какие из приведенных дробей неправильные?

а) 1/3;
б) 17/15;
в) 5/10;
г) 5(3/7). 

Задание 2.
Яблоко разрезали на 6 частей, 4 из которых съели. Какая часть от яблока осталась?

а) 4/6;
б) 2/6;
в) Половина;
г) 2/3. 

Задание 3.
Найдите значение выражения 3*(2/7). 

а) 3(3/7);
б) 2/21;
в) 23/7;
г) 6/7. 

Задание 4.
Найдите обратной число к числу 7. 

а) 7/1;
б) 1/7;
в) 7/7;
г) Такого числа нет. 

Задание 5.
Чему равно выражение 3(100/101)?

а) 300/101;
б) 303/101;
в) 403/101;
г) 101/300.

Ответы: 1. — бг; 2. — б; 3. — г; 4. — б; 5. — в.